問題の解き方

【部分点獲得】大問のうち、後半が前半より難しいとは限らない

大問のうち、後半が前半より難しいとは限らない
管理人

管理人のトイトブルクです。
本記事に興味を持っていただき、ありがとうございます。

大問の中の問題は、難易度順に並んでいるとは限らない

数学では小問を集めて大問を構成することがあります。

言葉で説明しても何のことかわからないと思いますので、例題を挙げましょう。

[問題]
以下の問いに答えよ。

(1) $a^3+b^3+c^3 -3abc \\
= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\ $
を証明せよ。

(2) $8x^3 + y^3 -1 $を因数分解せよ。

さてみなさんは、(1)の問題が解けるでしょうか?一応証明をしておきます。

(1)の証明
$ a^3 + b^3 + c^3 -3abc \\
= (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 -3abc \\
= X^3 - 3abX + c^3 -3abc \quad (X = a+b とおいた) \\
= X^3 + c^3 -3abX - 3abc \\
= (X+c)(X^2 - Xc + c^2) -3ab(X+c) \\
= (X+c)(X^2 - Xc + c^2 - 3ab) \\
= (a+b+c)\{(a+b)^2 - (a+b)c + c^2 -3ab)\} \\
= (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ca - bc + c^2 -3ab) \\
= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca) \\
$

前半が解けなくても、後半が解けることも・・・

ここでのポイントは、前半が解けないときにどうするかです。

(1)が解けないと(2)も解けないと思いがちです。しかしよく考えてみてください。(1)と(2)は同じ大問の中にあるのですから、関係があるはずです。

この問題の場合、(1)の公式を使えば(2)は解けます。

解き方を示しておきましょう。

(2)の解答
$ 8x^3 + y^3 - 1 \\
= (2x)^3 + y^3 + (-1)^3 \\
= \{2x + y + (-1)\}\{(2x)^2 + y^2 + (-1)^2 -(2x)y - y \cdot (-1) - (-1)\cdot (2x) \} \\
= (2x + y - 1)(4x^2 + y^2 + 1 -2xy + y -2x) \\
= (2x + y - 1)(4x^2 + y^2 -2xy -2x + y + 1)
$

となります。

前半ができなくてもあきらめないことが大事

いかがでしょうか?

まとめ
  • 問題は難易度順に並んでいない
  • 前の問題は次の問題のヒント
  • 後半の問題だけでも部分点を稼げる

前半ができなくても後半ができれば、かなり点数を稼げます。

あきらめずに、なんとか問題を解く方法がないかを考えたいものです。

管理人

最後までお読みいただき、ありがとうございました。
この記事が少しでもみなさまのお役に立てればうれしく思います。