こんにちは、管理人のトイトブルクです！
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大問の中の問題は、難易度順に並んでいるとは限らない
数学では小問を集めて大問を構成することがあります。
言葉で説明しても何のことかわからないと思いますので、例題を挙げましょう。
問題：以下の問いに答えよ。
- 次の等式を証明せよ。$a^3+b^3+c^3 -3abc \\ = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\ $
- $8x^3 + y^3 -1 $を因数分解せよ。
さてみなさんは、1の問題が解けるでしょうか？
一応証明しておきます。
1の証明
- $ a^3 + b^3 + c^3 – 3abc \\ = (a+b)^3 – 3ab(a+b) + c^3 -3abc \\ $
ここで$X = a + b$と置くと
- $ (与式) \\ = X^3 – 3abX + c^3 -3abc \\ = c^3 + X^3 -3ab(c+X) \\ = (c+X)(c^2 – cX + X^2) – 3ab(c+X) \\ = (c+X)(c^2 – cX + X^2 – 3ab) \\ = (a+b+c){(a+b)^2 – (a+b)c + c^2 – 3ab} \\ = (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 – ca – bc + c^2 -3ab) \\ = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca) $
前半が解けなくても、後半が解けることも･･････
ここでのポイントは、前半が解けないときにどうするかです。
1が解けなければ2も解けないと思いがちです。
しかし考えてみてください。1と2は同じ大問の中にあるのですから、関係があるはずです。
この問題の場合、1の公式を使えば2は解けます。
解き方を示しておきましょう。
2の解答
- $ 8x^3 + y^3 – 1 \\ = (2x)^3 + y^3 + (-1)^3 \\ = \{2x + y + (-1)\}\{(2x)^2 + y^2 + (-1)^2 -(2x)y – y \cdot (-1) – (-1)\cdot (2x) \} \\ = (2x + y – 1)(4x^2 + y^2 + 1 -2xy + y -2x) \\ = (2x + y – 1)(4x^2 + y^2 -2xy -2x + y + 1) $
となります。
前半ができなくてもあきらめないことが大事
いかがでしょうか？
【部分点獲得】まとめ
- 問題は難易度順に並んでいない
- 前の問題は次の問題のヒント
- 後半の問題だけでも部分点を稼げる
前半ができなくても後半ができれば、かなり点数を稼げます。
あきらめずに、なんとか問題を解く方法がないかを考えたいものです。
最後までお読みいただき、ありがとうございました！
この記事が少しでもみなさまのお役に立てればうれしく思います。
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