勉強のコツ

【部分点獲得】大問のうち、後半が前半より難しいとは限らない

大問のうち、後半が前半より難しいとは限らない

こんにちは、管理人のトイトブルクです!

大問の中の問題は、難易度順に並んでいるとは限らない

数学では小問を集めて大問を構成することがあります。

言葉で説明しても何のことかわからないと思いますので、例題を挙げましょう。

問題:以下の問いに答えよ。
  1. 次の等式を証明せよ。$a^3+b^3+c^3 -3abc \\ = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\ $
  2. $8x^3 + y^3 -1 $を因数分解せよ。

さてみなさんは、1の問題が解けるでしょうか?

一応証明しておきます。

1の証明
  • $ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \\ = (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 -3abc \\ $

ここで$X = a + b$と置くと

  • $ (与式) \\ = X^3 - 3abX + c^3 -3abc \\ = c^3 + X^3 -3ab(c+X) \\ = (c+X)(c^2 - cX + X^2) - 3ab(c+X) \\ = (c+X)(c^2 - cX + X^2 - 3ab) \\ = (a+b+c){(a+b)^2 - (a+b)c + c^2 - 3ab} \\ = (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ca - bc + c^2 -3ab) \\ = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) $


前半が解けなくても、後半が解けることも・・・・・・

ここでのポイントは、前半が解けないときにどうするかです。

1が解けなければ2も解けないと思いがちです。

しかし考えてみてください。1と2は同じ大問の中にあるのですから、関係があるはずです。

この問題の場合、1の公式を使えば2は解けます。

解き方を示しておきましょう。

2の解答
  • $ 8x^3 + y^3 - 1 \\ = (2x)^3 + y^3 + (-1)^3 \\ = \{2x + y + (-1)\}\{(2x)^2 + y^2 + (-1)^2 -(2x)y - y \cdot (-1) - (-1)\cdot (2x) \} \\ = (2x + y - 1)(4x^2 + y^2 + 1 -2xy + y -2x) \\ = (2x + y - 1)(4x^2 + y^2 -2xy -2x + y + 1) $

となります。

前半ができなくてもあきらめないことが大事

いかがでしょうか?

【部分点獲得】まとめ
  • 問題は難易度順に並んでいない
  • 前の問題は次の問題のヒント
  • 後半の問題だけでも部分点を稼げる

前半ができなくても後半ができれば、かなり点数を稼げます。

あきらめずに、なんとか問題を解く方法がないかを考えたいものです。

最後までお読みいただき、ありがとうございました!

この記事が少しでもみなさまのお役に立てればうれしく思います。