数学II

【図解】三角関数の合成

三角関数の合成
管理人

管理人のトイトブルクです。
本記事に興味を持っていただき、ありがとうございます。

数学IIで登場する「三角関数の合成公式」について、どのように長さと角度を求めていますか。

本記事では図解によりスピーディーに三角関数を合成する方法をご紹介します。

三角関数の合成公式

三角関数の合成公式は次の式で表されます。

$$ a \sin{\theta} + b \cos{\theta} = r \sin({\theta}+{\alpha})$$

ただし

$$ r = \sqrt{a^2 + b^2} $$
$$ \sin{\alpha} = \frac{a}{r} $$
$$ \cos {\alpha} = \frac{b}{r} $$

公式としては以上なのですが、実際に求めるのは少し面倒です。

一例を挙げましょう。

[問題] 次の三角関数を合成せよ。
$$ \sin{\theta} + \sqrt{3} \cos{\theta} $$

[解答]
$$ r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3}) ^ 2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 $$
$$ \sin{\alpha} = \frac{1}{2}$$ より
$$ \alpha = 60^{ \circ} , 120^{\circ} $$
また $$ \cos{\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ より
$$ \alpha = 60^{\circ}, -60^{\circ}$$ だから
$$ \alpha = 60^{\circ} $$ 以上より $$ \sin{\theta} + \sqrt{3} \cos{\theta}  = 2 \sin{(\theta + 60^{\circ})} $$  

以上ですが、いかがでしょうか? すこし面倒な計算になるでしょう。

そこで図を描くことによって、簡単に三角関数が合成できる方法をご紹介します。

【図解】三角関数の合成

先ほどの例題を使って説明します。

[問題] 次の三角関数を合成せよ。
$$ \sin{\theta} + \sqrt{3} \cos{\theta} $$

次のような図を描きます。

図解:三角関数の合成
  1. 横軸にsinの係数のa、縦軸にcosの係数のbをとります。
  2. 図のようにa, bの値を書き入れます。
  3. 直角三角形の性質を利用して、青の線分の長さ(=r)と青の角度(=α)を求めます。
  4. 三角関数の合成公式に代入します。

以上より

$$ \sin{\theta} + \sqrt{3} \cos{\theta} = 2 \sin{(\theta + 60^{\circ})} $$

いかがでしょうか?地道に計算するよりもはるかに速く合成ができるのではないでしょうか?

この方法は、aやbが負の場合でも使えます。

まとめ

三角関数の合成
  • 三角関数の合成は公式通りにやると大変
  • 図を描いて長さと角度を求めると簡単

三角関数の合成は比較的よく使われるので、この方法でスピーディーに合成しましょう。

管理人

最後までお読みいただき、ありがとうございました。
この記事が少しでもみなさまのお役に立てればうれしく思います。