数学II

【計算ミス撲滅】検算のススメ[図形]

検算のススメ[図形]
管理人

管理人のトイトブルクです。
本記事に興味を持っていただき、ありがとうございます。

検算のススメ・図形編

本記事では図形を利用した検算の方法をご紹介します。

まだ【計算ミス撲滅】検算のススメ【概数】を読んでいない方はこちらを先にお読みください。

図形が関係する問題では、図形の特徴を利用した検算が使えます。

図形的におかしくないかをチェックしよう

例1:sin, cos, tanのチェック

三角比の単元では次のような問題が良く問われます。

[例題1]
$$ \sin\theta = \frac{3}{5} のとき、\cos\theta、\tan\theta$$
の値を求めよ。ただし\( 0° < \theta < 90° \)

[解答1]
\( 0° < \theta < 90°\)のとき、\( \cos\theta > 0\) であるから、
$$ \cos\theta = \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $$
$$ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3}{5} \div \frac{4}{5} = \frac{3}{4} $$

検算として次のような図を描いてみます。

検算のための直角三角形

この図を見ると、sin, cos, tanともに値が合っており、直角三角形の条件も満たしていることがわかります。

このように図形的にチェックすると、視覚的に検算ができます。

例2:定積分の値のチェック

今度は定積分の値を図形的にチェックする方法をご紹介します。

[例題2]
下図に示した図形のうち、赤の斜線で囲まれた面積を求めよ。

定積分の問題

[解答2] 定積分を使って求める。 $$ \int_0^1 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} $$

この面積について図形的に考えてみます。

まず、面積ですから0よりは大きい。
また、青の線で囲まれた三角形の面積$=\frac{1}{2} $よりは小さい。

よって
$$ 0 < \int_0^1 x^2 dx < \frac{1}{2} $$
が成り立ちます。

$ \frac{1}{3} $はこの条件を満たすので、正解の可能性は高いと予測できます。

まとめ

図形が関係する計算の検算
  • 三角比の問題では、直角三角形を描いて確かめる。
  • 定積分で面積を求める問題では、近い形状の図形から面積の当たりをつける。

図形が関係する問題は、上記のように視覚的に検算できます。さほど時間はかからないので、積極的に検算したいものです。

管理人

最後までお読みいただき、ありがとうございました。
この記事が少しでもみなさまのお役に立てればうれしく思います。